2027年春季学期 非线性双曲方程 课程主页

基本信息

主讲教师: 章俊彦, yx3x@ustc.edu.cn

时间与地点：TBA

上课班级：数学学院中、高年级本科生和硕士研究生。

预备知识
    选修这门课的同学需学过微分方程1（古典偏微分方程）、（高等）实分析和基本的泛函分析。具体而言本课程需要如下前置内容：
  • 实分析/高等实分析：L^p空间及其插值不等式、Fourier变换。对应 Folland 实分析第 6、8 章。
  • 微分方程：古典偏微分方程，尤其是传输方程和波动方程、Fourier变换方法。
  • 修读本课程不需要先修“现代偏微分方程”。
课程内容

教材：自编讲义（暂缺）。

参考资料

  • 波动方程相关
  • Fourier/微局部分析/双曲方程组相关
    • [4] 陈恕行. 《拟微分算子》第2版，高等教育出版社，2006.
    • [5] 齐民友、徐超江、王维克. 《现代偏微分方程引论》，武汉大学出版社，2005.
    • [6] Guy Métivier. Para-differential Calculus and Applications to the Cauchy Problem for Nonlinear Systems.
  • 实例举隅
    • [7] Thomas Sideris. The Lifespan of Smooth Solutions to the Three-Dimensional Compressible Euler Equations and the Incompressible Limit. Indiana Univ. Math. J., 40(2), 1991, pp. 535--550.
    • [8] David Lannes. Space time resonances. Astérisque, tome 352 (2013), Séminaire Bourbaki, exp. no 1053, pp. 355-388.
    • [9] Jalal Shatah. Normal forms and quadratic nonlinear Klein-Gordon equations. Commun. Pure Appl. Math., 38(5), 1985, pp. 685--696.
    • [10] Jean-Marc Coulombel, Paolo Secchi. The stability of compressible vortex sheets in two space dimensions, Indiana Univ. Math. J., 53(4), 2004, 941–1012.

课程内容

    本课程主体内容分为几部分：拟线性波动方程的小初值长时间行为、频率空间方法、Fourier分析与仿微分运算、双曲方程组初边值问题的适定性，此外穿插若干流体PDE实例讲解。
  • 1. Fourier分析基础回顾：震荡积分的固相法、Sobolev空间的Fourier刻画和Littlewood--Paley刻画。
  • 2. 拟线性波动方程：局部适定性与爆破准则、向量场方法(Klainerman--Sobolev不等式)、波动方程的零条件、实例：可压缩Euler方程组的lifespan与爆破。
  • 3. 频率空间方法：Shatah正规型变换与时空共振方法简介。
  • 4. 仿微分运算：有限正则性的仿微分运算、拟基本解与微局部化。
  • 5. 双曲方程组的初边值问题：Kreiss--Lopatinskii条件与Kreiss对称化子方法、波动方程的Dirichlet-to-Neumann算子。
  • 6. 综合实例选讲*：二维超音速涡片的非线性稳定性。
课程考核

总评成绩由平时作业、期末Presentation、期末考试（开卷）按适当比例确定。本课程有不定期考勤，无故缺席将会扣平时分。

作业与习题课

作业：允许讨论，但请独立完成，若被发现抄袭则该次作业零分。

    作业规则：
  • 作业在本页面和课程QQ群发布，会注明截止日期，截止日期之后三天发答案。
  • 迟交政策：迟交的作业会正常批改和打分，但会被注明迟交，在计算总评时会有扣分（迟交三天以上扣分25%），期末一次性补交扣分40%.
  • 请尽量交纸质版作业。若交电子版，则请转换成PDF形式（例如使用“扫描全能王”等类似app，或者用LaTeX等排版软件）。
    不接受批改照片形式的作业以及没注明姓名、学号的作业。