2026年春季学期 微分方程2（现代偏微分方程）课程主页

基本信息

主讲教师: 章俊彦, yx3x@ustc.edu.cn

助教：尹宇辰

时间与地点：TBD.

上课班级：数学学院高年级本科生、硕士研究生。

本课程进度快（远比本科偏微分方程快），几乎无法考前突击，请认真完成作业，非必要情况请不要缺课（包括习题课）！

预备知识
    选修这门课的同学需学过微分方程1（古典偏微分方程）、实变函数、泛函分析。具体而言本课程需要如下前置内容：
  • Lebesgue测度和积分理论（尤其是各类收敛定理、Lebesgue微分定理）
  • L^p空间及其基本不等式
  • Hilbert空间的Riesz表示定理、Lax-Milgram定理
  • 弱收敛、弱-*收敛
  • 紧算子的谱理论（Hilbert空间即可）
  • 如果你学过Folland实分析的第6、8、9章会更好（L^p空间、傅立叶变换、广义函数与Sobolev空间），这是以前高等实分析用的教材，但25秋季高等实分析讲的是Evans的测度论一书。
课程内容

教材：自编讲义，主要参照[1-3]编写，请在课程QQ群下载。目前的未完成版本（英文版，暂时没空翻译）下载链接，最后更新时间：2025.11.28.

    主要内容：以下内容的第1-4、6部分必讲，第5、7部分视实际进度而定。
  • 1. 整数阶Sobolev空间（[1]第五章）
  • 2. 二阶线性椭圆方程的弱解理论、极值原理、De Giorgi-Nash-Moser迭代*（[1]第六章）
  • 3. 二阶线性抛物方程的弱解理论、极值原理（[1] 7.1节）
  • 4. 变系数波动方程和拟线性波动方程的局部适定性（[2]第4-6节）
  • 5. 双曲守恒律方程简介（[6]第五章）
  • 6. Sobolev空间的Fourier刻画（[3]附录A、[4]第一章）、非线性薛定谔方程简介（Strichartz估计、质量临界情况小初值整体解，[5]第一章）
  • 7. 变分法与诺特定理（[1]第八章）

Evans PDE的部分习题解答（由本人大四期间完成）请点击这里查看 。如有问题，或者发现里面的错误，请及时告知我。

课程考核

总评成绩=max{25%平时作业+25%期中考试+50%期末考试，40%期中考试+60%期末考试，100%期末考试}.

期中、期末考试无故缺席的，成绩均记为零分。

作业与习题课

作业：允许讨论，但请独立完成，若被发现抄袭则该次作业零分。

    作业规则：
  • 作业在本页面和课程QQ群发布，会注明截止日期。
  • 迟交政策：迟交的作业会正常批改和打分，但会被注明迟交，在计算总评时会有一定扣分。
  • 作业分组情况：请在作业本上标注你的组号。
  • 请尽量交纸质版作业。若交电子版，则请转换成PDF形式（例如使用“扫描全能王”等类似app，或者用LaTeX等排版软件）。不接受批改照片形式的作业以及没注明姓名、学号的作业。