2026年春季学期 微分方程2（现代偏微分方程）课程主页

主讲教师: 章俊彦, yx3x@ustc.edu.cn

助教：尹宇辰

时间与地点：周二(3,4,5)、周四(6,7)，东区五教5402教室。

上课班级：数学学院中、高年级本科生和硕士研究生。

本课程进度快（远比本科偏微分方程快），几乎无法考前突击，请认真完成作业，非必要情况请不要缺课（包括习题课）！

选修这门课的同学需学过微分方程1（古典偏微分方程）、实变函数、泛函分析。具体而言本课程需要如下前置内容：
• 实分析：Lebesgue测度和积分理论（尤其是各类收敛定理、Lebesgue微分定理）、L^p空间及其基本不等式
• 线性泛函分析：Hilbert空间的Riesz表示定理、Lax-Milgram定理、弱/弱-*收敛、紧算子的谱理论。
• 如果你学过Folland实分析的第6、8、9章会更好（L^p插值、傅立叶变换、广义函数与Sobolev空间）。

教材：自编讲义，主要参照[1-3]. 目前初稿版本请点击下载链接获取，还有部分补充内容没加进去。
该版本由之前的英文版翻译而来，多数采用AI翻译然后人工修正，可能有股机翻味道（实在没空逐字逐句翻译了，见谅）。
最后更新时间：2026.02.02.

参考资料：
• [1] Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations (2nd edition), Graduate Studies in Mathematics 19, AMS, 2010.
• [2] Jonathan Luk: Introduction to Nonlinear Wave Equations, Stanford University.
• [3] Terence Tao: Nonlinear Dispersive and Wave Equations: Local and Global Analysis.
• [4] Hajer Bahouri, Jean-Yves Chemin, Raphael Danchin: Fourier Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations.
• [5] Benjamin Dodson: Defocusing Nonlinear Schrodinger Equations.
• [6] 韩青、林芳华: Elliptic Partial Differential Equations.
• [7] Sung-Jin Oh: Lectures Notes for MATH 222A 、MATH 222B.

主要内容：本课程主体内容为Evans PDE第5--8章，傅立叶分析方法、波动方程、薛定谔方程则另外选取材料。
• 1. 整数阶Sobolev空间（[1]第五章）
• 2. 二阶线性椭圆方程的弱解理论和经典解极值原理（[1]第六章）、De Giorgi-Nash-Moser迭代*（[6]第4.1节）、Pohozaev恒等式（[1]第9.4节）
• 3. 二阶线性抛物方程的弱解理论、极值原理（[1] 7.1节）
• 4. Sobolev空间的Fourier刻画（[3]附录A、[4]第一章）、
  本部分需要预备知识：广义函数（分布）、缓增分布与Sobolev空间。上课会讲主要结论，但可能跳过一些证明。没学过的同学可以看Stein泛函第2、3章/Folland实分析第6、8、9章。
• 5. 线性和拟线性波动方程的局部适定性、爆破准则、次临界波动方程的整体解（[2]第4-7节），非线性薛定谔方程简介（Strichartz估计、质量临界情况小初值整体解，[5]第一章）
• 6. 变分法与诺特定理*（[1]第八章）

Evans PDE的部分习题解答（由本人大四期间完成）请点击这里查看 。如有问题，或者发现里面的错误，请及时告知我。

总评成绩（暂定）=max{30%平时作业+20%期中考试+50%期末考试，35%期中考试+65%期末考试，100%期末考试}.

期中考试时间：2026年4月21日 9:50-11:50(第八周的周二上课时间）。
考试范围：Evans PDE第5、6章中所有讲过的内容，或讲义2.6节为止所有讲过且不带星号的内容。

期末考试预计在16周末尾或者17周初期进行（最迟6月23日），期末考试不得缺席！
考试范围：整学期讲过且不带星号的内容，期中考试以前的内容不单独出题，变分法不考。

作业：允许讨论，但请独立完成，若被发现抄袭则该次作业零分。

作业规则：
• 作业在本页面和课程QQ群发布，会注明截止日期，截止日期之后三天发答案。
• 迟交政策：迟交的作业会正常批改和打分，但会被注明迟交，在计算总评时会有扣分（迟交三天以上的扣分至少为30%）。
• 请尽量交纸质版作业。若交电子版，则请转换成PDF形式（例如使用“扫描全能王”等类似app，或者用LaTeX等排版软件）。
  不接受批改照片形式的作业以及没注明姓名、学号的作业。

下表是预期的进度，会视实际情况调整。