实调和分析基础课程设置（非官方的个人观点仅供参考）

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实分析（本科） [回到顶部]

  • 定位：本科生课，主要讲述欧氏空间的勒贝格测度与积分理论、Lp空间、微分理论与符号测度。
  • 预备知识：数学分析（实际上基本只需史济怀数分上册以及下册的第14、15章，即单变量微积分、Rn的欧氏拓扑、多变量函数的连续性、级数与一致收敛）。
  • 主要参考资料：
    • [1] Tomas Claesson, Lars Hörmander. Integrationsteori (2nd ed.), unpublished lecture notes (in Swedish) at Lund University, 1993. 中译本《积分论》,黄明游[译], 1987.（此译本为第一版，其瑞典语原本于1970年出版，但第二版增加了很多习题）
    • [2] Elias M. Stein, Rami Shakarchi. Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces. (第1、2、3、6章)
    • [3] 周民强. 《实变函数论》、《实变函数解题指南》，北京大学出版社。
    • [4] 汪林. 《实分析中的反例》，高等教育出版社。
    • [5] Jürgen Jost: Postmodern Analysis. (第14章)
    • [6] 归斌. Qiuzhen Lectures on Analysis. (第23-27章)
  • 主要内容：
      一、勒贝格积分的定义（参考[1]的第二章前四节，这里开头可以用[5, 第14章]的处理绕开黎曼积分所涉及的Jordan测度）
    • 下半连续正函数的积分、非负函数的上积分
    • 零测集与零函数（此处还没有定义测度，原译文为“零集合”）
    • 勒贝格积分的定义与收敛定理
    • L1函数类
      二、勒贝格测度（参考[1]的第二章第5-6节）
    • 勒贝格可测集及其Borel正则性
    • 可测函数、Egorov定理、Lusin定理
      三、勒贝格积分的应用（参考[1]的第二章第7-10节）
    • 积分变量替换公式
    • 累次积分、Fubini定理
    • Lp空间
    • 勒贝格微分定理、Hardy-Littlewood极大函数
      四、Radon-Stieltjes积分（参考[1]的第三章）
    • Radon测度及其Hahn分解
    • 勒贝格分解（Lebesgue-Radon-Nikodym定理）
    • Lp空间的对偶
    • 特例：有界变差函数、绝对连续函数
    • *紧支连续函数空间的对偶（Riesz表示定理）
  • 个人观点：如上教学大纲采用[1]（而非常用的[2]或者[3]）作为主线内容，旨在以最小的代价将积分与测度紧密结合在一起（比如用积分倒过来定义测度），并介绍了符号测度的Lebesgue分解，并不像[2][3]那样过于强调和利用欧氏空间的性质。若是自学这本书，则强烈建议从[1]的第一章开始看，以体会黎曼积分与勒贝格积分的不同之处。
  • 注意：[1]书大部分习题均在末尾的“综合练习”，实际教学或者自学过程中需要重新编排习题的位置，建议参考瑞典语第二版（增加并重新编排了习题）。[4]是一本非常好的查反例的“字典”。[3]是主要的习题来源以及备考用书，实变函数考题很难避开[3]里面的题目或者各种简单变种。
  • 自学路线1：在学完史济怀数分上册以及下册第14、15章后（单变量微积分、Rn的点集拓扑、多变量函数连续性、级数与一致收敛），直接开始学Claesson-Hörmander [1]，对应的习题可以参考瑞典语版本的第二版（“参考资料”里面的链接，可以用deepseek或者翻译软件翻译习题），搞定[1]之后实分析这条线直接进入高等实分析的第3-5部分（对应Folland第6、8、9章+Stein泛函分析第2、3章）。
  • 自学路线2：在具有上述数学分析基础的情况下，直接学Folland的实分析（第1、2、3、7章），之后实分析这条线进入高等实分析的第3-5部分（对应Folland第6、8、9章+Stein泛函分析第2、3章）。欧氏空间的Lebesgue理论和抽象理论的联系， 尤其是关于测度正则性、正线性泛函的“单调延拓”等技巧的理解，可以参考清华大学求真书院分析学讲义[6]的前言和第23-27章。
  • 重要提示：用[1]学一定要做习题，[1]书后是有答案的。如果直接看Folland的话，第2、3章的习题很重要，第1、7章可以挑着做。
高等实分析（本研贯通） [回到顶部]
  • 定位：北美高校博士生资格考试的（实）分析学科。主要讲述：抽象测度和符号测度、Lp空间与插值定理、傅立叶变换、广义函数（分布）与Sobolev空间。
  • 预备知识：实分析（本科）
  • 主要参考资料：
    • [1] Gerald B. Folland. Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. (Chapter 1-3, 6, 8, 9)
    • [2] Elias M. Stein, Rami Shakarchi. Functional Analysis, Introduction to Further Topics in Analysis. (Chapter 2-3)
    • [3] Camil Muscalu, Wilhelm Schlag. Classical and Multilinear Harmonic Analysis, Vol. 1. (Chapter 8).
    • [4] 归斌. Qiuzhen Lectures on Analysis. (Chapter 23-27)
  • 主要内容：
      一、抽象测度与积分（[1]的第一章以及第二章的末尾、[4]第23、24章）
    • 1、测度空间与可测函数
    • 2、测度的正则性与局部正则性、Radon测度、半连续函数
    • 3、正则性方法 vs Caratheodory方法
    • 4、乘积测度与Fubini定理
      二、符号测度、Radon测度与Riesz表示定理
    • 1、符号测度的分解、Radon-Nikodym定理 （[1]第3章）
    • 2、C_c(X)上的正线性泛函：Riesz-Markov定理（[4]第25章）
    • 3、Radon测度的正则性（[1]7.2节）
    • 3、C_0(X)的对偶空间：Riesz表示定理（[1]7.3节）
      三、Lp空间的抽象性质（参考[1]的第6.1-6.2节、[4]第27.3-27.4节）
    • 1、Lp空间的基本不等式与包含关系
    • 2、Lp空间的完备性、对偶空间
    • 3、*Lp空间的一致凸性
      四、Lp空间的分析性质以及实例（参考[1]的第6、8章和[2]的第2章）
    • 1、卷积与光滑逼近、Young不等式、Riesz-Thorin插值定理
    • 2、傅立叶变换的基本性质
    • 3、Hilbert变换及其Lp理论
    • 4、Lp范数的分布函数表示（弱Lp空间）、Marcinkiewicz插值定理、Hardy-Littlewood-Sobolev不等式
      五、广义函数与Sobolev空间（参考[1]的第9章和[2]的第3章）
    • 1、分布的基本运算
    • 2、缓增分布的傅立叶变换
    • 3、Sobolev空间的傅立叶刻画
    • 4、HLS不等式、嵌入定理、迹定理的新证明
    • 5、Hilbert变换与p.v.(1/x)、齐次分布
    • 6、常系数线性偏微分方程的基本解
    • 7、椭圆算子的拟基本解和正则性
  • 个人观点：如上教学大纲采用[1]为主，但是应当有选择性地讲授而非“念课本”。[2]的前三章则提供了不少实例以供参考。测度论与抽象分析部分，可以参考[4]加深自己的理解。
  • 注意：这门课程的“风格”与本科实分析差别较大，后半部分已经明显出现了硬分析的实例计算，而本科实分析是以构建勒贝格测度积分理论为主（相比之下更“空洞”）。上述内容某种程度上兼顾了抽象性质与具体实例的讲述。
  • 自学路线： 学第四至第五部分（对应Folland第6、8、9章）的时候建议参考Stein泛函分析第2、3章结合实例来理解插值定理的应用和广义函数的运算，同时可以阅读Stein《奇异积分和函数的可微性》（有高质量中译本）的前三章（相当于覆盖了“调和分析基础”的预备知识和第一部分）。 除此之外，在学第4、5部分的时候，可以看“平移不变算子刻画”（必是卷积算子），以及相关的Hormander空间（傅立叶乘子观点），进而引入Littlewood-Paley分解等调和分析基本观念（可参见 苗长兴《调和分析及其在偏微分方程中的应用》对应的章节）。
调和分析基础（本研贯通） [回到顶部]
  • 定位：以傅立叶分析、极大函数等为主要工具发展出处理分析/PDE中各类线性、非线性估计的理论。主要讲述：Calderon-Zygmund奇异积分、Littlewood-Paley理论、几乎正交原理、非卷积型奇异积分的T1定理，以及震荡积分的基础知识与简要应用。下述内容是调和分析“基础知识”，并不等于现代调和分析前沿（四大猜想等）涉及的的调和分析（实际上只有很小的一部分真正沾边）。
  • 预备知识：高等实分析的第三至五部分。
  • 主要参考资料：
    • [1] Camil Muscalu, Wilhelm Schlag. Classical and Multilinear Harmonic Analysis, Vol. 1. (Chapter 4, 7-9, 11)
    • [2] Elias Stein. 奇异积分和函数的可微性. (Chapter 2-3)
    • [3] Elias Stein. Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. (Chapter 6-9)
    • [4] Thomas Wolff. Lectures on Harmonic Analysis, University Lecture Series Vol. 29, AMS.
    • [5] Loukas Grafakos. Classical/Modern Fourier Analysis, GTM 249/250, 3rd edition.
    • [6] Christopher D. Sogge. Fourier Integrals in Classical Analysis, 2nd edition, Cambridge Tracts in Mathematics 210.
  • 主要内容：
      一、Calderon-Zygmund奇异积分（[2]第2-3章和[1]第7章）
    • 1、卷积型奇异积分的Lp有界性
    • 2、与平移、伸缩可交换的算子：齐次核的点态收敛
    • 3、例子：Riesz变换与L2的球调和函数正交分解
    • 4、从L∞到BMO
      二、拟微分算子I：奇异积分与Littlewood-Paley（节选[3]第6章、[1]第8章）
    • 1、拟微分算子的L2有界性、象征演算
    • 2、Littlewood-Paley理论（Mikhlin乘子定理、平方函数定理）
    • 3、*Sobolev空间和Holder连续函数空间的L-P刻画
    • 4、*Bony仿积分解
      三、拟微分算子II：几乎正交原理、T1定理（节选[3]第7章、[1]第9章）
    • 1、Cotlar引理、TT*方法的例子
    • 2、非卷积型奇异积分的T1定理
      四、第一型震荡积分（节选[3]第8章、[1]第11章）
    • 1、衰减估计与固相法
    • 2、曲面测度的傅立叶变换：傅立叶限制性估计
    • 3、*薛定谔方程的Strichartz估计
      五、第二型震荡积分（节选[3]第9-10章、[6]第2章）
    • 1、Hörmander L2有界性定理
    • 2、*限制性估计与Bochner-Riesz求和
    • 3、*傅立叶积分算子的L2有界性
    • 4、*Besikovitch集合
  • 个人对这门课的粗浅观点：这门基础课的教法有很多，取决于未来的具体用途。鉴于以往教学内容过于陈旧，与现代调和分析自身的发展（四大猜想相关，即波方程的Sogge局部光滑性猜想、Bochner-Riesz求和猜想、傅立叶限制性估计猜想、Kakeya猜想。笔者在2025年2月底写这个网页期间，恰逢得知王虹与Joshua Zahl二位教授证明了3维的Kakeya猜想）以及深层次的应用（微局部分析、傅立叶积分算子等内容）实在过于脱节， 笔者认为有必要将“高等实分析”的后半部分当成这门课的前置内容（主要是傅立叶变换以及Hardy-Littlewood极大函数这两个基本工具），从而这门课可以直接从Calderon-Zygmund奇异积分开始教。更激进的做法则是用Stein的泛函分析教高等实分析，直接就可以讲完Calderon-Zygmund奇异积分理论，但是这样做的话就把“高等实分析”这门课上得太“专”了(too specialized)。
  • 为什么要这么做？私以为，实调和分析自身的核心内容之一应当是“正交性”，至于“导数↔乘子，卷积↔乘积，极大函数是Lp估计与点态估计之间的桥梁”之类的观点应该被前置到实分析和古典PDE课程中去反复强调。
    我们学解一维PDE的分离变量法时实际已用到了L2(0,π)的正交性（具有正交基{cos nx, sin nx}），它可推广到有界区域U上的L2(U)，其正交基由-Δ的特征函数提供，而L2(R^d)的正交分解则由这门课涉及的“球调和函数”给出。这些内容都可以参考[2]的前三章，个人认为没有比这更好的入门读物了。
    接下来就问，对一般的p≠2是否还有类似结论？注意p≠2的时候, Lp空间不是内积空间，因此完全相同的结论是不可能，但是能不能建立某种“几乎正交性”呢？这个答案就是Littlewood-Paley（平方函数定理）和“几乎正交性”(Cotlar引理)。就笔者读过的调和分析教科书来看，[3]无疑是把正交性体现得最“原汁原味”的，同时还介绍了拟微分算子的基本知识。而[1]则是以非常简练的语言精炼出了[3]对应内容的核心思想（当然代价是这本书跳过不少细节，需要读者自身有较强的实分析功底），笔者本人是做PDE的，所以也个人偏好使用[1]而不是[4]当作主力教材。[5]则是“百科全书式”的字典，证明细节都写得很清楚，初学时候拿来查阅非常方便。
    第三部分则是震荡积分理论。研究它的动机可以说再简单不过，首先傅立叶变换自身就有震荡积分的形式（更进一步则是微局部分析里面的“傅立叶积分算子”(FIO)），另一方面齐次色散方程的解也可以写成曲面测度的傅立叶变换，于是就有“傅立叶变换限制在曲面上以什么意义存在？”这个基本问题。波方程对应的是锥面，薛定谔方程对应抛物面，在学古典PDE的傅立叶变换方法时就可以拿出这两个例子来比较：波方程和薛定谔方程解的衰减速率为什么会不一样？这和曲率有关：抛物面所有主曲率非零，而锥面沿着直母线的方向主曲率是0. 而固相法正好可以证出每有一个方向主曲率非零就有t^{1/2}的衰减速率。
    这只是一个非常简单的例子。而调和分析里面的核心问题，即上述提到的几个猜想，背景也并不难理解，例如Bochner-Riesz问题的立足点就是“如何对Lp函数的傅立叶变换得到类似于L2函数那样通过截断{|x|≤R}再取极限的定义？”。它们之间的关系可以看[3]的第9-11章或者Wolff [4]. 无论如何，鉴于震荡积分自身的重要性，其在调和分析基础课教学中的比重应该大幅增加（或许应该占一半）。
    学习的时候需要时刻注意“极大函数”（点态 vs Lp）与“平方函数”（正交性）在各种意义下的推广，以及各种“反例”、“sharp examples”的积累，很多时候就是通过聚集在某个频率附近的“bump function”进行某些scaling就能构造出最极端的情况。如果你有兴趣去读一些关于decoupling的书籍/讲义，你会发现他们仍然是在对特定问题“量身定做一套具有正交性的理论”，只不过那里的“平方函数”不再是基于L-P分解这种“强行的圆环分解”，而是需要选取特殊尺度、特殊形状的集合去定义类似“平方函数”的东西，并且在一定误差下建立与Lp的等价性。
  • 注意：硬分析一定要自己动笔算。市面上调和分析的各种教材非常多，但是学调和分析，读书就要读最原汁原味的书，就是这样。
  • 自学路线：很难总结，个人感觉到这个阶段应该是“按需学习”，不同方向的人对上述基础知识需求的侧重点完全不一样。不过做PDE的话至少把Littlewood-Paley学好吧！