2026年秋季学期 微分方程1（常微分方程+偏微分方程）课程主页

基本信息

  • 主讲教师: 章俊彦, yx3x@ustc.edu.cn
  • 常微分方程助教：张博洋 zby_wanderer@mail.ustc.edu.cn、周芾 zf010309@mail.ustc.edu.cn
  • 偏微分方程助教：韦晏洲 、胡博睿 pdeyyan@126.com
  • 时间与地点：东区五教5401，周一(8,9)、周三(6,7)、周五(3,4).
  • 上课班级：2025级数学科学学院和少年班学院数学平台。

本课程进度快、内容多、计算量大，几乎无法考前突击。请认真完成作业，非必要情况请不要缺课（包括习题课）！课程录像在瀚海教学网发布！

预备知识
  • 常微分方程：数学分析（单变量微积分、级数理论和一致收敛）、线性代数（特征值和Jordan标准型的简单计算）
  • 偏微分方程：数学分析（多变量微积分、傅立叶级数）、常微分方程（只需会常见类型ODE求解即可）

    • 数学专业同学，请认真阅读如下3条建议：

  • 关于Jordan标准型：如果你学不懂线性代数，那请你找一个“单特征值、多Jordan块”的Jordan标准型J去算 (J-λI) 的幂次，思考如下问题
    • 什么叫“可对角化↔V是特征子空间直和↔敲掉对角元即将J化零”？（也就是计算(J-λI)）
    • 不可对角化时，什么叫“幂零”（也就是计算(J-λI)^k）以及“根子空间分解是将最大Jordan块化零”？
    • 不可对角化时，什么叫“循环子空间分解是将单个Jordan块化零”？
  • 傅立叶变换在PDE课上会讲，但仍然建议提前或同步学习 Elias M. Stein, Rami Shakarchi. Fourier Analysis: An Introduction. 这本书的第2~6章。
  • 多变量微积分中：极坐标和球坐标需要记住，分部积分公式须记住常庚哲、史济怀《数学分析教程》习题13.2第3、4题。

    • 非数学专业的同学：如果你要高替数理方程，请注意本课程的偏微分方程课号是001122(3学分)，不是教务系统课程替代关系里面的001017(4学分)，请在选课前咨询教秘是否必须两门都选。请注意微分方程1虽然计算量小于数理方程，但是更偏重证明，尤其PDE对重要结论证明过程的理解要求较高，选课之前请谨慎考虑。

课程内容和参考书

ODE教材：自编讲义，主要参照[1], [4], [6]编写，请在课程QQ群下载。
讲义目前版本请点击这里下载，最后更新时间：2026年07月30日。

课程内容: 本班授课内容与赵老师班上基本一致，授课顺序可能略有不同，带星号不作要求。

    本课程主要讲授常微分方程的求解方法、存在唯一性定理和连续依赖性、2x2常微分方程组平衡点的稳定性等
  • 初等求解方法：一阶线性方程、Riccati方程等。对应[1]第2.3~2.4节/[2]第2.3节和2.6节部分内容。
  • 存在唯一性定理：Picard迭代、Peano存在性定理 (欧拉折线法)、解的延拓、*比较定理、解对初值和参数的连续依赖性和连续可微性。对应[1]第3.1~3.4、5.3~5.4节/[2]第3.1~3.5节、4.2~4.3节。
  • 一阶线性ODE方程组：常系数（这部分需要会算简单的 Jordan 标准型）、*周期系数（Floquet定理和参数共振）。对应[1]第6.2节/[2]第5.2节、*5.4节。
  • 定性理论初步：2x2系统初等奇点、非线性系统稳定性的线性化判据、Lyapunov稳定性、*稳定流形、*全局相图的nullcline方法、*ω-极限集与周期轨道。对应[1]第8章/[2]第9.1~9.3节。
  • 高阶方程：常系数线性方程、幂级数解法与特殊函数。对应[1]第6.3节和第7章节选/[2]第5.3节和第6章节选。
  • Sturm比较定理、Sturm--Liouville边值问题（这部分在PDE会用到，是分离变量法的理论根基）、*周期边值问题与小除子问题。对应[1]9.1~9.3节/[2]7.1~7.3节。

PDE教材：自编讲义，主要参照[1], [2], [5]编写，请在课程QQ群下载。
讲义目前版本请点击这里下载，最后更新时间：2026年07月30日。 该版本后续还会调整部分习题等内容。

课程内容: 本班授课内容与赵老师班上基本一致，授课顺序可能略有不同。

    本课程主要讲授古典偏微分方程的显式求解方法，主要内容包括：
  • 特征线法：传输方程、Burgers方程的求解。
  • 傅立叶变换与能量法：欧氏空间中的波动方程、热方程的求解。
  • 分离变量法：一维边值问题求解、特殊区域调和函数求解、特征值问题（一维）。
  • 极大值原理：热方程的弱极值原理、调和函数的平均值原理和极值原理及其若干推论、调和函数的可去奇点。
  • 格林函数法：位势方程的求解。
  • 其它可能的补充内容（不纳入考试范围）：震荡积分的驻相法与色散方程的衰减估计、(-Δ)的主特征值变分原理、变分法（最小作用量原理）等。
考试和成绩:

总评：由作业分、课堂测验、期末考试构成，比例视期末考试情况而定。当平时分或小测验得分低于期末考试卷面分时，对应成绩会被期末考试卷面分替代。

期末考试：和赵老师班上统考，两个班按照相同标准给分，请同学们不要去评课社区炒股。
期末考试由本人和助教共同改卷，改完后本人逐一复核，本班不安排查卷。

作业与习题课:

作业：允许讨论，但请独立完成，若被发现抄袭则该次作业零分。

禁止使用AI直接“生成”作业答案！请不要把AI当成自己的外置大脑，否则你的考试成绩会惨不忍睹。

    作业规则：
  • 作业在本页面和课程QQ群发布，会注明截止日期。
  • 迟交政策：迟交的作业会正常批改和打分，但会被注明迟交；迟交3天及以上扣分25%，期末一次性补交扣分40%。
  • 作业分组情况：请在作业本上标注你的组号。
  • 请尽量交纸质版作业。若交电子版，则请转换成PDF形式（例如使用“扫描全能王”等类似app，或者用LaTeX等排版软件）。不接受批改照片形式的作业以及没注明姓名、学号的作业。

周次 日期 内容 作业 截止日期
  第1周     8.31             ODE作业一  
  9.2          
  9.4          
  第2周     9.7          
  9.9          
  9.11          
  第3周     9.14             ODE作业二  
  9.16          
  9.18          
  第4周     9.20     调休补课 (9.25中秋节放假)      
  9.21          
  9.23          
  第5周     9.28             ODE作业三  
  9.30          
  10.2     国庆节假期     无  
  第6周     10.5     国庆节假期     无  
  10.7     国庆节假期     无  
  10.9          
  第7周     10.12          
  10.14          
  10.16          
  第8周     10.19             ODE作业四  
  10.21          
  10.23          
  第9周     10.26          
  10.28          
  10.30     常微分方程期末复习     ODE作业补交最后期限: 10.30  
  第10周     11.2             PDE作业一  
  11.4          
  11.6          
  第11周     11.9          
  11.11          
  11.13          
  第12周     11.16             PDE作业二  
  11.18          
  11.20          
  第13周     11.23          
  11.25             PDE作业三  
  11.27          
  第14周     11.30          
  12.2          
  12.4          
  第15周     12.7          
  12.9             PDE作业四  
  12.11          
  第16周     12.14          
  12.16          
  12.18          
  第17周     12.21          
  12.23          
  12.25              
  第18周     12.28     偏微分方程期末复习     PDE作业纸质版补交最后期限:12.28  
  12.30     习题课     PDE作业电子版补交最后期限:12.30  
  1.1     元旦假期     无