2026年秋季学期 微分方程1（常微分方程+偏微分方程）课程主页

基本信息

  • 主讲教师: 章俊彦, yx3x@ustc.edu.cn
  • 常微分方程助教：
  • 偏微分方程助教：韦晏洲、胡博睿
  • 时间与地点：待定
  • 上课班级：2025级数学科学学院和少年班学院数学平台。

本课程进度快、内容多、计算量大，几乎无法考前突击。请认真完成作业，非必要情况请不要缺课（包括习题课）！课程录像在瀚海教学网发布！

预备知识
  • 常微分方程：数学分析（单变量微积分、级数理论和一致收敛）、线性代数（特征值和Jordan标准型的简单计算）
  • 偏微分方程：数学分析（多变量微积分、傅立叶级数）、常微分方程（只需会常见类型ODE求解即可）

    • 数学专业同学，请认真阅读如下3条建议：

  • 关于Jordan标准型：如果你学不懂线性代数，那请你找一个“单特征值、多Jordan块”的Jordan标准型J去算 (J-λI) 的幂次，思考如下问题
    • 什么叫“可对角化↔V是特征子空间直和↔敲掉对角元即将J化零”？（也就是计算(J-λI)）
    • 不可对角化时，什么叫“幂零”（也就是计算(J-λI)^k）以及“根子空间分解是将最大Jordan块化零”？
    • 不可对角化时，什么叫“循环子空间分解是将单个Jordan块化零”？
  • 傅立叶变换在PDE课上会讲，但仍然建议提前或同步学习 Elias M. Stein, Rami Shakarchi. Fourier Analysis: An Introduction. 这本书的第2~6章。
  • 多变量微积分中：极坐标和球坐标需要记住，分部积分公式须记住常庚哲、史济怀《数学分析教程》习题13.2第3、4题。

    • 非数学专业的同学：如果你要高替数理方程，请在选课前咨询教秘是否必须两门都选。请注意微分方程1虽然计算量小于数理方程，但是更偏重证明，尤其PDE对重要结论证明过程的理解要求较高，选课之前请谨慎考虑。

课程内容和参考书

ODE教材：主要按照柳彬书的顺序讲丁同仁、李承治课本的内容，不讲隐式方程、奇解与包络、首次积分和ODE教材上的一阶偏微分方程。

课程内容: 本班授课内容与赵老师班上基本一致，授课顺序可能略有不同，带星号不作要求。

    本课程主要讲授常微分方程的求解方法、存在唯一性定理和连续依赖性、2x2常微分方程组平衡点的稳定性等
  • 初等求解方法：一阶线性方程、Riccati方程等。对应[1]第2.3~2.4节/[2]第2.3节和2.6节部分内容。
  • 存在唯一性定理：Picard迭代、欧拉折线法、解的延拓、解对初值和参数的连续依赖性。对应[1]第3.1~3.3、5.3~5.4节/[2]第3.1~3.4节、4.2~4.3节。
  • 一阶线性ODE方程组：常系数（这部分需要会算简单的 Jordan 标准型）、*周期系数（Floquet定理和参数共振）。对应[1]第6.2节/[2]第5.2节、*5.4节。
  • 定性理论：Lyapunov稳定性、2x2系统初等奇点和极限环、平面动力系统的相图（nullcline方法）、*结构稳定性定理与分支现象。对应[1]第8章/[2]第9.1~9.3节。
  • 高阶方程：常系数线性方程、幂级数解法与特殊函数。对应[1]第6.3节和第7章节选/[2]第5.3节和第6章节选。
  • Sturm比较定理、Sturm--Liouville边值问题（这部分在PDE会用到，是分离变量法的理论根基）。对应[1]9.1~9.3节/[2]7.1~7.3节。

PDE教材：自编讲义，主要参照[1], [2], [5]编写，请在课程QQ群下载。
讲义目前版本请点击这里下载，最后更新时间：2026年01月26日。 该版本后续还会调整部分习题等内容（例如Burgers方程）。

课程内容: 本班授课内容与赵老师班上基本一致，授课顺序可能略有不同。

    本课程主要讲授古典偏微分方程的显式求解方法，主要内容包括：
  • 特征线法：传输方程、Burgers方程的求解。
  • 傅立叶变换与能量法：欧氏空间中的波动方程、热方程的求解。
  • 分离变量法：一维边值问题求解、特殊区域调和函数求解、特征值问题（一维）。
  • 极大值原理：热方程的弱极值原理、调和函数的平均值原理和极值原理及其若干推论、调和函数的可去奇点。
  • 格林函数法：位势方程的求解。
  • 其它可能的补充内容（不纳入考试范围）：震荡积分的驻相法与色散方程的衰减估计、(-Δ)的主特征值变分原理、变分法（最小作用量原理）等。
考试和成绩:

总评：由作业分、课堂测验、期末考试构成，比例视期末考试情况而定。当平时分或小测验得分低于期末考试卷面分时，对应成绩会被期末考试卷面分替代。

期末考试：是和赵老师班上统考。
期末考试由本人和助教共同改卷，改完后本人逐一复核，不再安排查卷。

作业与习题课:

作业：允许讨论，但请独立完成，若被发现抄袭则该次作业零分。

请不要使用AI直接“生成”作业答案，否则考试成绩肯定会很惨。

    作业规则：
  • 作业在本页面和课程QQ群发布，会注明截止日期。
  • 迟交政策：迟交的作业会正常批改和打分，但会被注明迟交；迟交3天及以上扣分25%，期末一次性补交扣分40%。
  • 作业分组情况：请在作业本上标注你的组号。
  • 请尽量交纸质版作业。若交电子版，则请转换成PDF形式（例如使用“扫描全能王”等类似app，或者用LaTeX等排版软件）。不接受批改照片形式的作业以及没注明姓名、学号的作业。